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慣性モーメント(かんせいモーメント)あるいは慣性能率(かんせいのうりつ)、イナーシャ とは、物体の角運動量 と角速度 との間の関係を示す量である。
● 定義
質点系がある回転軸まわりに一様な角速度ベクトル で回転するとき、質点系の持つ角運動量ベクトル は次のように書ける。
ここで は 番目の質点の質量、 は回転軸上の原点との相対座標でありはその大きさである。この式からわかるように、 は と向きは必ずしも一致しないが、 を線形変換したものになっている。つまり、その線形変換をとすると、
と表せる。この変換 は2階のテンソルであり、との各成分は
:
という形に表される。ここに はクロネッカーのデルタ、 はベクトル の 成分である。 を行列表示すると
{{Indent }}
となる。この定義から は対称テンソルである。この2階のテンソル を慣性モーメントテンソル、または簡単に慣性テンソルと呼ぶ。
なお、質量分布が連続的に広がっている場合には、その物体の慣性テンソルは密度 を用いて
{{Indent }}
となる。
◎ ある軸まわりの慣性モーメント
物体をある回転軸まわりに回転させたとき、と同じ向きをもつ単位ベクトルをもちいると、回転軸にそった角運動量成分は次のように与えられる。
ここで、は角速度の大きさである。
ここに与えられたスカラー量 をその軸まわりの慣性モーメントと呼ぶ。
◎ 慣性主軸と主慣性モーメント
慣性テンソル行列は実対称行列なので、適当な直交座標系 {{Math { , , } }}を選ぶことで対角化(すなわち と)することができ、そのときの座標軸を慣性主軸、慣性モーメント {{Math { , , } }}を主慣性モーメントと呼ぶ。慣性主軸座標系では角運動量は
:
と単純に表すことができる。
● 計算例
◎ 棒の両端の質量
重さの無視できる長さ の棒の両端に、質量 、 の物体がくっついたものを考える。棒の適当な位置に回転の中心となる点を定め、そこから両端までの腕の長さをそれぞれ 、 とする。このとき、中心に対する慣性モーメント は、
:
と、計算される。この式から分かるように、慣性モーメントは、中心(回転軸)のとり方によってその値が変わる。中心として系の重心をとったとき、慣性モーメントは最小となる。すなわちもっとも回しやすい。
◎ 円板
半径 、全質量 の、一様な密度 をもつ円板の、中心軸まわりの慣性モーメントは
{{Indent }}
となる。
これは中心から半径 、幅 のリングの質量 を考えると
より、このリングの慣性モーメント が
だから
{{Indent }}
より求めることができる。
◎ リング状円板
円板外半径 、くり抜き内半径 、全質量 のリング状円板では、前出の を用いて
{{Indent }}
となる。
● 性質
一般に、剛体の慣性モーメントは、剛体の質量に比例し、質量が軸から遠くに分布しているほど大きくなる。
また、回転軸が重心を通るとき慣性モーメントは最小値 をとり、軸が重心から距離 だけ離れている場合、その軸の周りの慣性モーメント は
{{Indent }}
となる。
慣性テンソル の物体が角速度 で回転しているとき、その回転に伴う運動エネルギー は
{{Indent }}
と表示できる。
● 関連する物理量
◇回転半径
: 慣性モーメント は物体の質量 に比例するから、
::
: と書くことができる。この は長さの次元を持ち、回転半径と呼ばれる。
:
・国際単位系では、剛体の質量 [
● 応用
工学での応用として、回転軸に慣性モーメントの大きい回転体を取り付けた装置をフライホイール(はずみ車)という。これは、回転速度の急激な変化を抑止したり、回転によるエネルギーを保存する目的で使用される。
「慣性モーメント」『フリー百科事典 ウィキペディア日本語版』(https://ja.wikipedia.org/)
2025年2月15日16時(日本時間)現在での最新版を取得




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